Cуществование и единственность решения задачи прироста основных факторов производства

В данном исследовании рассматривается решение задачи нахождения прироста факторов производства при известных темпах освоения инвестиций, заданных начальных и краевых условиях развития экономики. Задачу удается свести к совокупности двух одномерных уравнений теплопроводности. Процесс исследования начинается с анализа однородной задачи параболического типа, для которой известно аналитическое решение. В процессе изучения находим собственные функции и собственные числа задачи Штурма – Лиувилля, которые необходимы для расчета прироста факторов производства и описания динамики экономической системы.

Для решения рассматриваемой проблемы с учетом влияния темпов освоения инвестиций формулируем новую задачу, используя значения прироста факторов производства, заданным в двух крайних промежутках времени. В случае непрерывности функции скорости освоения инвестиций удается свести полученную задачу к известной одномерной пространственной задаче теплопроводности, для которой доказана теорема существования и единственности. Применяем метод разложения решения на однородную и неоднородную части. Далее записываем общее решение в виде суммы решения однородной задачи и дополнительного компонента, который учитывает скорость освоения инвестиций. Для нахождения дополнительного компонента используем метод вариации параметров и подходы, связанные с функциями, удовлетворяющими соответствующим краевым условиям. В финале теоретической части работы получаем общее решение, которое складывается из суммы решений однородной задачи и дополнительных функций, возникающих при учете влияния скорости освоения инвестиций. Этот подход позволяет получить полное представление о поведении факторов производства при изменении условий инвестирования и обеспечивает основу для дальнейших исследований в области моделирования экономических процессов. Проведено численное моделирование прироста основных фондов США в период 2011–2022 гг., что позволило детально изучить динамику изменения трудовых ресурсов в зависимости от инвестиций, времени и объема основных фондов. Использовалась схема Франкела – Дюфорта, показавшая хорошие результаты, что свидетельствует о ее эффективности в прогнозировании изменений в структуре трудовых ресурсов. Предложенная модель позволила выявить ключевые тенденции и зависимости, а также определить возможные сценарии развития для принятия обоснованных управленческих решений.

1. Кузнецов С.Б. Моделирование развития факторов производства уравнением Навье –Стокса // Вестник НГУЭУ. 2024. № 2. С. 101–114. DOI:10.34020/2073-6495-2024-2-101-114

2. Хартман П., Винтнер А. О решениях уравнения теплопроводности // Американский математический журнал. 1950. Т. 72, № 2. С. 367–395.

3. Казаков А.Л. Построение и исследование точных решений со свободной границей нелинейного уравнения теплопроводности c источником // Математические труды. 2019. Т. 22, № 2. С. 54–75; Siberian Advances in Mathematics. 2020. Vol. 30, iss. 2. Pp. 91–105.

4. Дженалиев М.Т., Космакова М.Т., Рамазанов М.И. Об одной граничной задаче со свободной границей для уравнения теплопроводности // Обратные и некорректные задачи математической физики. 2011. С. 363.

5. Карпович Д.С. и др. Аналитический и численный методы решения уравнения теплопроводности // Труды БГТУ. Серия 3: Физико-математические науки и информатика. 2015. № 6 (179). С. 122–127.

6. Taler J., Duda P. Solving direct and inverse heat conduction problems. Berlin: Springer, 2006. С. 584–660.

7. Ozyshyk M.N. Boundary value problems of heat conduction. Courier Corporation, 1989.

8. Gao S.V. et al. Finite element method for solving general heat conduction problems // International Journal of Heat Transfer and Mass Transfer. 2017. Vol. 115. P. 882–894. URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0017931017324729 (дата обращения: 09.12.2024).

9. Radenski M., Woodbury K.A., Kral J., Brezina T. A genetic algorithm for solving inverse heat conduction problems. Numerical Analysis of Heat Transfer, Part B: Fundamentals. 1995. Vol. 28, iss. 3. P. 293–306. URL: https://doi.org/10.1080/10407799508928835 (дата обращения: 09.12.2024).

10. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002. 840 c.

11. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

12. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Наука, 1962. Т. 1. 464 с.

13. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Наука, 1962. Т. 2. 639 с.

14. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

15. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 598 с.

16. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1987. 248 с.

17. Турчак Л.И. Основы численных методов. М.: Наука, 1987. 318 с.

18. Рытыни А.К. Некоторые понятия функционального анализа. Иваново: ИГХТУ, 2003. 77 с.

19. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М: Изд-во Московского ун-та, 1999. 735 c.

20. Хакимзянов Г.С., Черный С.Г. Методы вычислений: Учеб. пособие. В 4 ч. Ч. 3. Численные методы решения задач для уравнений параболического и эллиптического типов. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2007. 160 с.

21. US. Bureau of Economic Analysis (BEA). URL: https://www.bea.gov/210 (дата обращения: 09.12.2024).

22. Key Economic Indicators: United States – Trading View. URL: https://www.tradingview.com/markets/world-economy/countries/united-states/210 (дата обращения: 09.12.2024).

23. Экономика США, 1970–2022. URL: https://be5.biz/makroekonomika/profile/us.html. (дата обращения: 09.12.2024).